contoh soal olimpiade matematika

1.      Diketahui bahwa  8 x 2 = 12; 9 x 4 = 25; 11 x 3 = 19 ; 4 x 4 =20. Carilah nilai dari 11 x11 !

Pembahasan:

Dari soal diatas dapat dicari polanya sehingga akan ditemukan

a x b = ,

jadi 11 x 11 = 11 + 11² = 11+121 =132

2.      Untuk bilangan-bilangan real a, b dan c diberikan system persamaan :

a + b = 17

b + c = 5

c + d = 9

Nilai dari ad + bc – ab – cd adalah…

Pembahasan:

Diketahui

a + b = 17 … (1)

b + c = 5 … (2)

c + d = 7 … (3)

eliminasi persamaan (1) dengan (2) :

a + b = 17 … (1)

b + c = 5 … (2)__  -

a – c = 12

eliminasi persamaan (3) dengan (2) :

c + d = 9 … (3)

b + c = 5 … (2)_ -

d – b = 4

ad + bc – ab – cd = (a – c) . (d – b)

                                  = 12 . 4

                                  = 48

Jadi, nilai dari ad + bc – ab – cd = 48

3.      Diketahui persamaan kuadrat x² + (a-1)x-2=0, memiliki akar-akar x₁ dan x₂. Jika jumlah kuadrat kedua akar-akarnya sama dengan 5 dan a bilangan prima, maka nilai a adalah….

Pembahasan

x₁²+ x₂²(x₁+x₂)²= (x₁₊x₂)²-2x₁x₂

Catatan:

x₁+x₂=-

x₁x₂=-

Jadi x₁²+x₂²(x₁+x₂)²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂

=-(²

=[²

5  =

5  = a²-2a+5

a²-2a = 0

a(a-2) = 0

a = 0    V         a = 2

4.      Diketahui ABCD adalah sebuah persegipanjang dengan AB = 10cm dan BC = 8cm. Jika BC=DQ dan DP = CQ, tentukan luas daerah ABQP.

Pembahasan :

DQ = 8 cm

DP=CQ=DC-DQ=10-8=2

Luas ABCD = P x l

                   = 10 x 8

                     = 80 cm²

Luas DPQ = 

                =

                  =

                  = 8 cm²

Luas BCQ =

                           ⁼ 

                           ⁼

                  = 8 cm²

Luas ABQP= Luas ABCD –(Luas DPQ+Luas BCQ)

                    = 80 - (8 + 8)

                    = 80-16

                    = 64cm²

5.      Dalam satu hari, obat yang diminumadalah mengikuti anjuran dokter 3x

1 tablet. Satu botol berisi 150 tablet. Jika obat mulai diminum tanggal 1 desember . tanggal berapa hari terakhir minum obat?

Pembahasan :

Jumlah tablet 150
satu hari minum 3 tablet
      

150 : 3= 50 hari.

jadi membutuhkan waktu 50 hari untuk menghabiskan obat.
tanggal mulai minum adalah 1 desember,(bulan desember 31 hari)
jadi obat selesai diminum tanggal 19 januari tahun berikutnya.

6.      Sebuah akuarium berukuran 50 cm x 60 cm, dan tinggi 40 cm. Akuarium tersebut setengahnya diisi air. Jika ke dalam akuarium tersbut dimasukkan 4 buah balok yang sama persis, tinggi air naik 5 cm. Tentukan volume tiap balok tersebut !

Pembahasan :

Volume setengah aquarium : 60 x 50 x 20 = 60.000 cm³

Volume setelah air naik           : 60 x 50 x 25 = 75.000 cm³

Volume 4 buah balok : V air setelah naik - V setengah akuarium

                                     : 75.000 cm³ -  60.000 cm³

                                               : 15.000 cm³

Jadi, volume tiap balok adalah 15.000 cm³ : 4 buah = 3750 cm³

7.      Lia membuka sebuah novel. Ternyata kedua nomor halaman yang tampak bila dijumlahkan hasilnya 1935. Kedua halaman novel  yang dimaksud adalah…

Jawab:

Nomor halaman kiri = jumlah nomor halaman-1 = 1935-1 = 967

                                                     2                             2

Sehingga kedua halaman novel yang dimaksud adalah 967 dan 968

8.      Diketahui segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku 4 cm dan 3 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalamnya

Pembahasan:

Kita pilih AB = 3 cm dan BC = 4 cm. Dengan memakai pythagoras maka diperoleh AC = 5 cm.  Karena BF = R maka AF = 3 – R . Karena BD = R maka CD = 3 – R.

Dari satu titik, jika ditarik 2 garis singgung maka panjangnya akan sama, sehingga

AE = AF = 3 – R

CE = CD = 4 – R

Dengan demikian

AC = AE + EC

5    = 3 – R + 4 – R

2R = 2

R  = 1 cm
Jadi jari jari lingakaran dalamnya 1 cm.